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        勾股定理的證明方法及常用公式

        2021-11-14 08:31:44文/葉丹

        勾股定理是一個基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形,并且直角邊中較小者為勾,另一長直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個定理為勾股定理,也有人稱商高定理。

        勾股定理的證明方法及常用公式

        勾股定理推導:歐幾里得證法

        在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個正方形相等。

        在這個定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:

        如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS)

        三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

        任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

        任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積。

        證明的思路為:從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,把上方的兩個正方形,通過等高同底的三角形,以其面積關系,轉換成下方兩個同等面積的長方形。

        設△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。

        其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

        畫出過點A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE于K、L。

        分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

        ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。

        ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

        因為AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

        因為A與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。

        因為C

        A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。

        因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

        同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC2。

        把這兩個結果相加,AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

        由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

        由于CBDE是個正方形,因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。

        此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。

        由于這個定理的證明依賴于平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

        勾股定理常見知識點

        1、過兩點有且只有一條直線

        2、兩點之間線段最短

        3、同角或等角的補角相等

        4、同角或等角的余角相等

        5、過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

        6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短

        7、平行公理經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行

        8、如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行

        9、同位角相等,兩直線平行

        10、內錯角相等,兩直線平行

        11、同旁內角互補,兩直線平行

        12、兩直線平行,同位角相等

        13、兩直線平行,內錯角相等

        14、兩直線平行,同旁內角互補

        15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

        16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

        17、三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180"

        18、推論1直角三角形的兩個銳角互余

        19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

        20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

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